Formules, verschillen

In Formules, inleiding zijn de simpelst mogelijke formules "afgeleid". Dat wil zeggen: wat hopelijk duidelijk is geworden is dat formules een weergave zijn van ervaringen die door de natuur voorzien zijn van een bepaalde regelmaat en wetmatigheid.

Door de wens naar een zo groot mogelijke simpelheid is er een zaak die daar wel benoemd maar onderbelicht is gebleven: de meeste van de besproken verschijnselen gaan over verschillen. En niet over absolute waarden.

De waarde van absolute waarden kan toegelicht worden met een tikje humor, in de vorm van een voorstel om ervoor te zorgen dat niemand meer hoeft te bukken: we hogen gewoon de hele Aarde met één meter op.

Omdat verschillen zo belangrijk zijn, hebben ze ook weer een eigen symbool: de Griekse delta in verschillende vormen: Δ en δ, en ook wel de Latijnse \( d \) - als afstand wordt die \( d \) veel minder gebruikt: met de invoering van het "verschil"-symbool kan de afstand vervangen worden door het fundamentelere begrip van "verschil in plaats" of "verplaatsing", waarbij "plaats" de letter \( x \) heeft. Of ook nog \( y \) en\( z \) als je jezelf of de betreffende zaak over meerdere richtingen kan verplaatsen. In formule uitgedrukt, het even houdende op één richting:
\[ d ~ = ~ \Delta x \]
Waarna de formule met snelheid en tijd uit de inleiding ...
\[ d ~ = ~ v \times t \]
... herschreven kan worden als:
\[ \Delta x ~ = ~ v \times \Delta t \]
Dit dus om de verplaatsing te berekenen als de snelheid en het tijdsverschil bekend zijn.

Autobezitters zullen weten dat dit heel vaak ook andersom wordt gebruikt: de snelheid berekenen uit de verplaatsing en het tijdsverschil - in een zogenaamde trajectcontrole. Het is dezelfde formule maar anders geschreven. Een verschil dat van belang kan zijn en dat hier ook is:
\[ v ~ = ~ {\Delta x \over \Delta t} \]
En met dit resultaat is weer een stadium bereikt dat staat voor eindeloos vele andere formules: dat van de zogenaamde differentiaalvergelijkingen. Een term die wijd en zijd angst inboezemt, maar stamt van dit simpele en begrijpbare begin.

Differentiaalvergelijkingen zijn, zoals de term al zegt, vergelijkingen die werken met verschillen.

Met één extra toevoeging: differentiaalvergelijkingen werken met kleine verschillen.

De reden voor het invoeren daarvan is ook uit de trajectcontrole te halen. Die uitslag van de controle zegt alleen iets over de gemiddelde snelheid tussen de twee meetpunten. Het kan best dat voor een deel daarvan de automobilist nog veel harder heeft gereden - gecompenseerd door een stuk waarin hij achter een voorganger bleef hangen. Het gemiddelde is altijd lager dan de piek.

Om die pieksnelheid te meten, moet de afstand tussen de meetpunten steeds kleiner worden gemaakt. En dan betreft het dus nog steeds de gemiddelde snelheid op dat kleinere traject.

Er is dus maar één echte "de" snelheid: op het moment dat je de afstand zo klein hebt gemaakt dat het verschil tussen "gemeten" en "echte" nergens meer invloed op heeft. En het bijbehorende tijdsverschil dan dus ook - tenzij je in het equivalent van een straaljager zit.

En hier hebben we dus weer te maken met het verschil tussen wiskunde en natuurkunde. Natuurkundigen zouden in principe tevreden moeten zijn met die snelheidsbepaling die nauwkeurig genoeg is. Als je de afstand van het traject meet als 10,53 km, dat wil zeggen: op een meter of 10 nauwkeurig, hoef en kan je die snelheid niet nauwkeuriger bepalen dan met vier cijfers.

Wiskundigen zijn daar niet tevreden mee. Die willen het volkomen precies weten, want anders is het "niet bewezen". Wiskunde streeft naar volkomen precisie, natuurkunde naar het best mogelijke antwoord. Waar het laatste het snelst vooruit gaat, levert het eerste soms extra waardevolle resultaten omdat ze (heel erg) algemeen geldig zijn.

Dat is hier het geval. Waar de precisie van de gemiddelde snelheid als representant van de echte snelheid steeds groter wordt als het traject en de tijdverschil kleiner zijn, wordt de volkomen precisie bereikt als die beide nul zijn.

Nu is het duidelijk dat je uit twee keer nul niets kan halen, en toch wil je deze benadering blijven gebruiken.

De truc van de wiskunde is om niet alleen de meeteenheden een naam en symbool te geven, maar ook de methodes. De methode om de echte snelheid te bepalen door het traject steeds kleiner te maken wordt gewoon een naam gegeven. Die naam is "de limiet nemen" of "de limiet". Het symbool is dit:
\[ \lim_{x \to 0} \]
Waarbij hier de \( x \) gebruikt is in zijn wiskundige betekenis van: "kan van alles zijn", en de eindwaarde van de limiet gekozen is op zijn meest gebruikte waarde: nul. In zijn geheel uitgesproken als: "de limiet voor \( x \) nadert naar nul".

Is dit allemaal verwerkt in de geest, kan de formule voor de echte snelheid worden opgeschreven - want dat is het nu: niets meer dan opschrijven want alle stappen zijn uitgelegd:
\[ v_{echt} ~ = ~ \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta x \over \Delta t} \]
En dit is nu een voorbeeld van een heel erg algemeen geldig resultaat van de wiskunde: op deze manier kan je altijd de echte waarde halen uit metingen en een werkelijkheid die in feite gaan over verschillen. En omdat het zo'n algemeen geldige en gebruikte methode is, is er weer een nieuwe notatie voor uitgevonden - ook weer: niets anders dan een afkorting. Hier is die afkorting:
\[ v_{echt} ~ = ~ {\partial x \over \partial t} \]
Er is nog een tweede notatievariant:
\[ v_{echt} ~ = ~ {d x \over d t} \]
De eerste gebruik je meestal in situaties met meerdere parameters als je ze één voor één wilt doen - en voor het gemak zullen we deze blijven gebruiken.

Kijk nu nog eens terug, en bedenk voortdurend dat daar precies hetzelfde staat. Het is geen afleiding. Net als veel van het bovenstaande is het slechts een notitie-afspraak.

Waarna er nog een afsprakenkwestie volgt. De laatste voorstelling is veel algemener dan die van de gemiddelde snelheid. Dus in plaats van dat de eerste speciaal wordt aangegeven, doet men dat met de laatste. Dus nogmaals naast elkaar:
\[ v_{gem.} ~ = ~ {\Delta x \over \Delta t} \]
En:
\[ v ~ = ~ {\partial x \over \partial t} \]
De "echte" snelheid wordt in dit soort afleidingen elders ook wel de "momentane" snelheid genoemd: de snelheid op een bepaald tijdstip. Maar dat is dus toch wat men in het dagelijkse leven meestal bedoelt met "de snelheid".

En omdat we ons hier beperkt hebben tot één enkele richting, die genaamd \( x \), is het vollediger zo:
\[ v_{x} ~ = ~ {\partial x \over \partial t} \]
Die \( v_{x} \) heet in de wiskunde "de afgeleide van \( x \) naar \( t \)". Het hele proces heet ook wel "differentiëren" of "de afgeleide nemen".

Waarna het weer tijd is voor een (langere) rustpauze om dit allemaal te laten bezinken. Daarna meer over formules en grafieken .


Naar Evolutie , of site home . 


 

8 apr.2015