Formalisme: groei, natuurlijk In
de beschrijvingen van de dode natuur bleek haar lagenstructuur
het gevolg van de manier waarop een beperkt aantal interacties leidde tot
het ontstaan van een beperkt aantal deeltjes met een beperkt aantal
eigenschappen. In de levende natuur, ontstaan daar waar die interacties van
de dode natuur elkaar min-of-meer in evenwicht houden, zijn die interacties
ingewikkelder. Maar ook daarin is systematiek te ontdekken, als je maar
begint te "trekken" aan een uiteinde. Dat uiteinde aan de voorkant van de
levende natuur is het proces van reproductie, of wat algemener: dat van
groei. Als eerste voorbeeld van natuurlijke groei wordt het simpele direct-waarneembare geval genomen: de groei van een "eencellige" - hier: een bacterie. En als verdere versimpeling controleren we de omgeving tot een voor bacterieën aangename met voedingsstoffen in een petri-schaaltje. In dat schaaltje wordt een enkele bacterie gestopt. Die gaat zich in de voedzame omgeving vermenigvuldigen: 1, 2, 4, 8, 16, ... enzovoort. Aanvankelijk zie je daar niets van want bacterieën zijn niet met het blote oog waarneembaar - minuscuul blijft minuscuul. Aanvankelijk. Maar de kracht van exponentiële groei is bekend genoeg. Hier het oude voorbeeld van het schaakbord en de rijstkorrels:
Dus zo zien we op een gegeven moment met onze menselijke ogen die geen cellen kunnen waarnemen een snelle groei van een bacteriekolonie:
Dat gaat zo ijverig een tijdje door. Een voortdurend proces van omzetting van voedingsstoffen in bacterieën. En dan ineens, is het op. Want de voedingsstof is op. En de bacteriën gaan collectief dood. Hier is de bijpassende curve:
In de meer abstracte termen van de "groeitheorie" heet dit "end of definition" - zo meteen meer over de theorie. In meer beschrijvende termen, gebruikt in zowel de omgangstaal als de wiskunde: een "catastrofe". Dit dus wat betreft het meest simpele voorbeeld. Wat "niet goed" afloopt. Dit moet gespeeld hebben bij alle voorgaande niveaus van het leven, tot aan de eerste moleculen. Een vermoeden daaromtrent is bijvoorbeeld dat de mitochondriën zittende in de cel, die nu de energiehuishouding regelen, vroeger zelfstandige celachtigen zijn geweest en door de huidige basiscel met dna als basis zijn "ingevangen". Aanwijzing: mitochondriën hebben hun eigen soort "dna" 
.De begintijd van het leven is dus vermoedelijk nogal stormachtig geweest, bij gebrek aan controlemechanismen bij het proces van de exponentiële groei om tot meer evenwichtige situaties te komen . Hoe de natuur dit probleem
heeft opgelost, ligt te zeer in de geschiedenis van de evolutie om erg duidelijk
te zijn, maar in het vervolg zijn nog aspecten ervan terug te vinden.Dat de natuur tot een oplossing is gekomen met een stabieler verlopend groeiproces is duidelijk aan het heden. Ook van dit evolutionair meer vooruitgeschreden groeiproces kiezen we een zo simpel mogelijk geval: de groei van een plant. Maar dan nog steeds de simpele versies: eentje die een simpele groei kent: omhoog. Hier is de grafiek van de groei van een bonenstaak:
Dat eerste deel zier er uit als verwacht: ook de groei van planten bestaat uit het vermenigvuldigen van haar cellen. Maar de grafiek maakt onmiddellijk duidelijk dat die snelle groei op een gegeven moment ophoudt, vervangen wordt door een gecontroleerde groei, om uiteindelijk uit te putten tot de bonenstaak een vaste lengte heeft. Dit voorbeeld en deze grafiek komen uit voor zover bekend het eerste en enige boek dat het onderwerp groei op een algemene, zelfstandige en toegankelijke wijze behandelt: Little science, big science, door Derek de Solla Price
, stammende uit 1963. Dit boek gaat eigenlijk over de groei van de
wetenschap en, zie de naam, de latere splitsing in klein- en grootschalige
wetenschap (laboratoriumtafel versus 3 kilometer grote deeltjesversnellers). Het voorbeeld van de groei van de bonenstaak heeft De Solla Price heeft overgenomen van een onderzoeker van groei bij levensvormen: D'Arcy Wentworth Thompson
. Dat dus laat zien dat de groei ten einde komt.Hoe gaat dat stoppen van de groei nu? De grafiek leert er al iets over, want die ziet er nogal symmetrisch uit - hier precies dezelfde afbeelding maar dan horizontaal en verticaal gespiegeld:
Resultaat: vrijwel precies dezelfde kromme. Dus ook het uiteinde van de groeicurve heeft een exponentiële afhankelijkheid. Die symmetrie was De Solla Price ook opgevallen, getuige de op de bonenstaak volgende illustratie in Little science, big science:
Het tweede proces verloopt kennelijk ook exponentieel, maar dan qua remming. Hier is het proces dat daar achter zit: als bonenstaak langer wordt, wordt hij groter, én komt hij gemiddelde hoger te liggen. Dat wil zeggen: hij moet steeds meer water en voedingsstoffer uit de grond oppompen naar steeds grotere hoogte. Dat gaat dus steeds minder goed. En het minder goed gaan gaat steeds sneller. Tot de groei uiteindelijk nog slechts enkele cellen is. Precies het omgekeerde van het begin van de groei, die ook heel langzaam gaat. Hoe ziet die kromme er nu wiskundig uit?
Opvallend is dat het eindresultaat een constante waarde is. Terwijl de curve
exponentieel begint. De vraag luidt dus: hoe houdt je een exponentiële functie
in de hand als het zo is dat de exponentiële functie de meest snel stijgende van
allemaal is. Het antwoord: met een andere exponentiële functie. En er
bleek een specifieke oplossing te zijn, gevonden door wiskundige Pierre
François Verhulst, die heet "logistic function"
Of met de bijbehorende constantes die de vorm bepalen:
De functie kan je als volgt lezen: de teller is de exponentiële curve die de basis is en het begin van de curve. De noemer is een andere exponentiële curve die de teller in de hand gaat houden, maar door die curve in de noemer te verschuiven met de "1 + ...", begint dit "in de hand houden" pas na enige tijd, lezende van links naar rechts in de grafiek. De logistic function
levert dus de groeicurve van de bonenstaak.
Vanwege het belang ervan en naar de vorm wordt dit ook wel de S-curve genoemd.
Waarin de streeplijn staat voor het proces zonder remming dat naar het nieuwe evenwichtswaarde gaat (de stippellijn), en de doorgetrokken grafiek staat wat er gebeurt met vertraging door een remming. En iedereen "weet" wat er daarna gebeurt: doordat het daadwerkelijke proces nu een stuk sneller gaat, schiet over zijn normale eindpunt heen. Wat er vervolgens gebeurt, behoort weer tot de "groeitheorie" zoals beschreven in Little science, big science. Hier volgen de diverse mogelijkheden in één illustratie, tezamen met de voorgaande:
Uitkomst (a) is die van opeenvolgende S-curves, de evenwichtige evolutie, uitkomst (b) de catastrofe, eerste nieuwe is het overschieten gevolgd door steeds erger overschieten, natuurlijk uiteindelijk ook gevolgd door een catastrofe van één of andere soort, en uitkomst (d) is van van overschieten gevolgd tot een steeds beter naderen tot het evenwicht. Uitkomst (d) lijkt sterk op wat er gebeurt als je een gewicht hangende aan een veer een stoot geeft: het gewicht gaat op-en-neer oscilleren, maar uiteindelijk steeds zwakker tot hij weer stil hangt - een evenwicht van twee krachten plus wrijving 
:
Als je er vanuit gaat dat de groei gestart is vanuit een situatie van evenwicht, wordt uitkomst (d) dus dit:
Waarbij het groeiproces dus staat voor de overgang tussen twee evenwichtssituaties. En de oscillatie veroorzaakt wordt door een aanvankelijke rem op het proces, waardoor het doorschiet nadat het eenmaal los is gekomen. Het voorgaande gaat uit van een natuurkundige vorm van evenwicht. De wiskundige beschrijving van hoe een oscillatie tot stand komt is voor wiskundigen heel simpel:
Met als grafiek:
De hoogte van de golven en hun breedte of frequentie verander je met respectievelijk a en b erbij in de formule:
Bekend onder de namen sinus- of cosinus-functie, afhankelijk van waarmee je begint in de oorsprong (ter plaatse van de verticale as) - de getekende is een sinus, de formule is van een cosinus, het verschil is het vervangen van de "+" door een "-". De min-versie is wat inzichtelijker, want dan staat er: neem een exponentiele functie, en trek daar een andere exponentiële functie van af met een tegelijkertijd een omkering in welke kant hij opgaat ("x" wordt "-x"). En dan krijg oscillaties. Zoals in de onderste twee groeigrafieken. Van de soort bijna permanente oscillaties (de echt perrmanente bestaan alleen in de wiskunde) bestaan er ook voorbeelden in de levende natuur. Vermoedelijk het bekendst is dat van de vossen en konijnen
: in een redelijk begrensde ruimte, zeg een duingebied, loopt een aantal
konijnen rond. Laat de konijnen hun gang gaan, en op een gegeven moment
hebben ze het hele gebied overbevolkt en alle duinbegroeiing opgegeten, en
sterven ze massaal af. Het uitsterf-geval. Introduceer nu een aantal vossen,
waarbij de vossen konijnen voor hun exclusieve levensonderhoud hebben. Als
er genoeg konijnen zijn, krijgen de vossen veel jongen, die tezamen steeds
meer konijnen gaan eten. Tot het punt bereikt is dat er een tekort ontstaat
aan konijnen. Dan beginnen de vossen met uitsterven, en als er genoeg
gestorven zijn, hebben de konijnen weer genoeg ruimte om nieuwe konijnen te
kweken, enzovoort. Oftewel: twee gevallen van exponentiële groei die tegen
elkaar ingaan. Als je het wiskundig gaat uitrekenen iets opleverende als dit:
Als het echt tot deze factoren beperkt was, zou het in het natuurlijke geval vermoedelijk ook geen evenwicht bereiken. Maar bekend is dat op subtiele manieren zowel vossen hun nakomelingenschap kunnen aanpassen aan de hoeveelheid voedsel en konijnen aan dat van de hoeveelheid predatie. De mate waarin de natuur daarin geëvolueerd is, bepaalt mede of er een evenwicht ontstaat. Maar vermoedelijk is daar in dit geval nog een externe factor bij nodig, equivalent aan de wrijving in het geval van mechanische oscillatie. In de natuurlijke werkelijkheid zijn er dus altijd die andere invloeden, zoals andere diersoorten, en zie je dus alleen combinaties van processen. Met in bijzondere gevallen, meestal veroorzaakt door een snelle externe verstoring, een spoor van de meer fundamentele achterliggende processen, zoals dus de tijdelijke oscillaties ten tijde van exponentiële groei. Hoe de exponentiële groei te rijmen valt met het verder toch voornamelijk voorkomen van min-of-meer stabiele situaties gaat het verder over hier  .
Naar Psychosociohistorie, inleiding  , of site home
 .
|
