WERELD & DENKEN
 
 

Formules, inleiding

Er is weinig dat niet-bèta's zo zeer ontzag en angst inboezemt als formules - het gezegde in de boekenbranche luidt: iedere formule halveert de verkoop van een boek. Want al die symbooltjes die meestal bestaan uit slechts één letter .... En dan betekenen zo ook nog eens heel veel. Precies het omgekeerde van wat men gewend is: veel woorden voor een relatief magerder inhoud.

En het allervervelendste: vaak werken ze ook nog eens en leggen ze dingen vast. Zodat er over die dingen moeilijk of niet meer gediscussieerd kan worden.

Gruwelijk.

Maar er zijn ook alfa's en gamma's die wel bereid zijn er enige moeite in te steken, maar teleurgesteld worden door het gebrek aan uitleg zonder voorkennis. Voor hen zijn deze artikelen. Aan het einde van de reeks ligt er een beloning: het kunnen lezen van een formule over economie die aan het Nederlandse publiek is gepresenteerd als zijnde een zeer belangrijk en archetypisch voorbeeld. En het kunnen zien van de leugens erover.

Tussen twee haakjes: gekozen is de hoofdlijn op te splitsen in acht artikelen zodat deze apart in één keer gelezen kunnen worden, met adempauzes op geschikte momenten. Eromheen liggen wat nadere uitwerkingen en specialisaties.

We beginnen met de basis van formules: letters.

Alles wat betreft uitleg werkt natuurlijk het makkelijkst met concrete voorbeelden. En daarom gaat het eerst over appels en meters.

Ga appels kopen op de markt, en er zijn twee manieren om dat aan te pakken: vragen om kilo's of vragen om stuks. En als je vraagt om kilo's, zal de marktkoopman na enig wegen terugkomen met de vraag: "Eentje meer of eentje minder?" - omdat het aantal kilo's zelden of nooit precies overeenkomt met het aantal. Aantal is dus voor appels een essentieel concept.

Wat ook geldt voor bananen, citroenen, enzovoort. Alle dingen in de natuur. En de afkortingen voor die hoeveelheden heten dan ook "de natuurlijke getallen". De bekende 1, 2, 3, enzovoort.

Met de natuurlijke getallen zijn de simpele formules te maken. Een formule is een regel die geldt voor alle getallen. En de eerste vraag is dus: hoe schrijf je een getal op dat je nog niet weet en later van alles kan zijn?

Daarvoor gebruikt men sinds de oudheid letters. De gebruikelijke keuze voor een willekeurig natuurlijk getal is \( n \). En een ander willekeurig natuurlijk getal: \( m \) . En eventueel \( k \), \( l \), \( o \) en in die buurt.

De eerste formule is die voor wat er gebeurt als Jantje en Marietje snoepjes hebben gekocht, die natuurlijk ook in natuurlijke getallen komen, en willen weten hoeveel ze samen hebben. Eerst geeft Jantje zijn snoepjes aan Marietje, en die gaat ze bij elkaar tellen. Jantje vertrouwt de uitkomst niet zo, en doet het daarna zelf door die van Marietje bij de zijne op te tellen. Dat zou eventueel wat anders kunnen zijn.

Als je dit nu wilt opschrijven zonder de aantallen expliciet te noemen, moet je er dus letters aan geven. Stel: die van Jantje zijn er \( n \), en van Marietje \( m \). De vraag van Jantje is dan: "Tel ik \( m \) op bij \( n \), is dat dan hetzelfde als dat ik \( n \) optel bij \( m \)?". Iedereen weet dat dat inderdaad zo is, en Jantje gaat dat uitvinden.

En als je dat dan opschrijft, en "tel bij elkaar op" ook vervangt door een symbool: "+" , en "is gelijk aan" door een ander: "=" , dan luidt die regel dat de volgorde van optellen niets uitmaakt:

\[ m ~ + ~ n ~ = ~ n ~ + ~ m \]
En voor wie hier nog moeite mee heeft, lees en herlees dan net zo lang totdat het volkomen helder is. Het vervolg wordt allengs te moeilijk als hier nog een probleempje mee is.

Aan de andere kant: de rest lijkt voor een flink aantal stappen sterk op het voorgaande - op een wat hoger niveau bezien is de rest van de stappen eigenlijk identiek aan deze inleidende. Het voorgaande is een "formule", en kan staan voor alle andere formules, op dat hogere niveau.

En bijna alle formules (in de wiskunde) kunnen afgeleid worden uit een klein aantal andere, waarvan bovenstaande er eentje is. Die beperkte hoeveelheid essentiële formules heten "axioma's" en bovenstaande formule hoort bij wat heet "een algebra" (er bestaan verschillende soorten algebra, voor wie het woord kent). De betreffende formule heeft zelfs een naam: hij heet "het commutatieve axioma", commutatie zijnde het van het Latijn stammende woord voor "verwisseling", waarvan de reden duidelijk moet zijn.

Dit alles hoort natuurlijk tot de "wiskunde". Erg belangrijk, dus, maar niet de meest praktische vorm van formules.

De tweede te bespreken formule ziet er wel uit als wiskunde, maar hoort bij de natuurkunde. Ook daarin doet men veel aan tellen, maar meestal in zaken als meters en kilo's.

Een meter is eigenlijk een eigenaardig iets, want om te weten wat het is, moet je het met je meedragen in de vorm van een lange lat, en die lat dan een paar keer langs het te meten voorwerp leggen. Iets dat je kan simuleren door je armen wijd uit te strekken maar dat is bij de meeste mensen echt geen meter. En de keuze van de lengte van die lat is redelijk willekeurig. De enige echt natuurlijke maat die iedereen kan begrijpen en zich ook redelijk voorstellen is de gemiddelde lengte van de mens. Tegenwoordig iets van 1 meter en 70 centimeter of 1 meter 80. Kijk naar een paar mensen die naast je staan, en je weet wat een "mensenmeter" is.

Maar wat je ook kiest, je zit net als bij de appels altijd met het geval dat er geen precies aantal meters is. Maar de daarvoor alom zowel bekende als gebruikte oplossing is om ook een lat van 10 keer zo klein te gebruiken, die heet dus "decimeter", enzovoort. Het aantal meters, decimeters enzovoort zet je op een rijtje, met de meters op een aparte plaats met behulp van een komma:
\[ 1,7635 \]
Hardop: 1 meter plus 7 decimeter plus 6 centimeter, enzovoort. Ook dit zijn getallen, geheten de "gebroken" getallen omdat de gehele getallen in stukjes gebroken zijn. En om duidelijk te maken dat het over meters gaat, die meters erachter:
\[ 1,7635 ~ m \]
En op dezelfde manier zijn er ook secondes:
\[ 3,11664 ~ s \]
En kilo's:
\[ 25,43 ~ kg \]
Enzovoort. Wat je allemaal ook op een andere veelgebruikte manier kan opschrijven. Stel je hebt "De lengte is 1,7635 meter", dan kan je dat ook noteren als, gebruikende een ander letter, \( l \), staande voor "lengte":
\[ l ~ = ~ 1,7635 \]
En idem:
\[ t ~ = ~ 3,11664 \]
En:
\[ m ~ = ~ 25,43 \]
Met \( t \) staande voor "tijd" en \( m \) staande voor "massa". En die eenheden denk je er, bij afspraak, gewoon achter, tenzij je niet-standaardeenheden gebruikt - dan moet je ze wel altijd vermelden.

Een van de dingen die natuurkunde heel anders maakt dan wiskunde, is dat je de gebruikte begrippen kan combineren tot nieuwe - bij wiskunde gebeurt het ook wel, maar het is minder duidelijk. Bij natuurkunde is het opzichtig en dusdanig belangrijk dat in het begin die eenheden ook altijd wel vermeld worden.

Eén van die gecombineerde begrippen, zullen de meeste mensen wel voelen aankomen, is "snelheid": het aantal meters afgelegd per seconde. Met een nieuwe eigen letter, zijn de \( v \) staande voor het Latijnse "velocitas". Dus:
\[ v ~ = ~ 2,183 ~ m/s \]
De \( m/s \) uitgesproken als "meter per seconde" wat ook neerkomt op het aantal meters delen door het aantal secondes. Wat in het verkeer en de meeste andere dagelijkse omstandigheden gaat in kilometers per uur of \( km/h \)

De cruciale nieuwe stap hierin gezien vanuit de wiskunde, is het begrip "vermenigvuldigen" en zijn omgekeerde zijnde "delen". Door "vermenigvuldigen" krijg je nieuwe dingen, net als in de levende natuur. In de wiskunde valt dat meestal niet op, omdat wiskunde dus in eerste instantie over getallen gaat - "vijf keer twee" wordt vertaald als "twee plus twee plus twee plus twee plus twee".

Goed, stel dat de snelheid bekend is, en je hebt met een stopwatch het aantal seconden gemeten. Wat is dan de afgelegde afstand? Dat is natuurlijk (zie dat "meters per seconde") de snelheid vermenigvuldigd met het aantal secondes. Wat ook geschreven kan worden als formule - met "vermenigvuldigen met" geschreven als \( \times \) en "afgelegde afstand" als \( d \) (van "distance"). Met de voorgaande getallen:
\[ d ~ = ~ 2,183 \times 3,11664 \]
Of met de eenheden erbij, die meestal weggelaten worden:
\[ d ~ = ~ (2,183 ~ m/s) \times (3,11664 ~ s ) \]
Gebruik van de calculator levert (afgerond naar het minste aantal cijfers in de formule: de vier stuks van de snelheid):
\[ d ~ = ~ 6,804 ~ m \]
Waarna de laatste stap komt richting echte formule: het weglaten van de getallen door ze te vervangen door de bijbehorende symbolen: \( v \) voor de snelheid en \( t \) voor de tijd:
\[ d ~ = ~ v \times t \]
En daar is de eerste natuurkunde-formule. En in tegenstelling tot de meeste simpele natuurkunde-fomules heeft deze geen naam van een beroemde geleerde.

Een simpele formule die zo'n naam wel heeft, is de wet van Ohm. Die gaat over de elektrische stroom (letter \( I \), eenheid Ampère) in een draad wanneer er een spanningsverschil (letter \( V \), eenheid Volt) over staat - een bekend voorbeeld zijnde dat van de oude gloeilamp waar de bekende netspanning van 220 volt over staat en een zo sterke stroom door de draad gaat lopen dat ze heet wordt en gaat gloeien. De hoeveelheid stroom hangt ook af van de "weerstand" in de draad, met letter \( R \) en eenheid Ohm. Hoe meer weerstand, hoe minder stroom, en hoe meer spanning, hoe meer stroom. Tezamen:
\[ I ~ = ~ { V \over R } \]
Maar hier zit een adder onder het gras: deze formule lijkt wel simpel, maar er zit ingewikkelder natuurkunde achter - ingewikkelder dan bij snelheid en tijd enzovoort.

Op dit punt is er ook meteen een sociologisch analogon te bedenken - de bedoeling van deze hele exercitie. En het is tegelijk een illustratie van de redenen waarom deze exercitie niet eerder is ondernomen, want het is meteen een controversieel voorbeeld.

In de sociologie is er namelijk ook sprake van "stroom". Stroom in de basale eenheid van de sociologie. En de basale van de sociologie is "groepen van mensen". In de sociologie is het analogon van "elektrisch stroom" het verschijnsel van "stroom van mensen". Daarvan zijn er vele soorten, waarvan de grootste heet "migratiestromen".

Dan is er ook nog een begrip nodig om de stroom op gang te brengen dat lijkt op "elektrisch spanningsverschil". Daarvan zijn er in de sociologie meteen al twee soorten: sociaal-culturele en economische.

Laten we het meteen maar gaan formaliseren: de migratiestroom noem je \( M \), het sociaal-culturele verschil noem je \( C \) en de weerstand houden we op \( R \). Dan krijg je:
\[ M ~ = ~ { C \over R } \]
Migratiestroom is sociaal-cultureelverschil gedeeld door de weerstand, die in dit geval de "reisweerstand" is: hoe moeilijk is van van plaats A naar plaats B te komen. Waarom is de migratie van moslims en creolen naar Amerika zo klein ten opzichte van de migratie naar Europa? Antwoord: Omdat tussen Afrika en Amerika een oceaan zit - de "reisweerstand" is hoog. Vraag: Waarom is de migratie naar Europa de laatste decennia zo sterk toegenomen? Antwoord: Omdat het reizen zo veel makkelijker is geworden, dat wil zeggen de "reisweerstand" is afgenomen.

Kortom: formules zijn dus best wel te begrijpen - als u tot hier gekomen bent. En ze zijn best ook wel heel nuttig en zinvol in de sociologie.

Want wat zegt die huidige grote migratiestroom van uit Midden-Oosten Afrikaanse culturen? Want die migratiestroom is best wel groot gezien de reisweerstand bestaande uit een Midden-Oosten met veel grenzen en een Middellandse Zee. Antwoord: Die grote migratiestroom vanuit Midden-Oosten en Afrika laat zien dat het Midden-Oosten en Afrika en grote sociaal-culturele achterstand hebben.

En wat is het hier relevante andere dat de sociologie-met-regels gaat leren: het economische verschil is een directe functie van het sociaal-culturele verschil.

De weerzin van (vele) sociologen tegen het gebruik van formules in de sociologie is dus best wel te begrijpen: formules en de bijbehorende regels leggen nare en onwelkome waarheden bloot.

Maar die formules en regels zijn niets anders dan weergaves van hoe het er in de natuur aan toegaat. En wie ingaat tegen de regels van de natuur, overleeft niet.

Natuurlijk zijn de meeste sociologische regels niet van de simpelheid van natuurkundige regels en van bovenstaande voorbeeld, omdat de werkbasis van sociologische regels mensen en mensgroepen zijn, en mensen zijn niet identiek zoals atomen dat wel zijn. Maar, zoals het voorbeeld heeft laten zien: ze kunnen wel door simpele(re) regels benaderd worden.

Meer over de ietwat minder simpele regels hier .


Naar Evolutie , Wetenschap lijst , Wetenschap overzicht , of site home .

 

8 apr.2015